奧數(shù)天天練欄目每日精選中等、高等難度試題各一道。中難度試題適合一些有過思維基礎(chǔ)訓(xùn)練、考 題學(xué)習(xí)經(jīng)歷，并且奧數(shù)成績中上的學(xué)生。高難度試題立足于杯賽真題、綜合應(yīng)用和加深各知識點，適合一些志在競賽中 奪取佳績的學(xué)生。

　　·本周試題由學(xué)而思奧數(shù)名師精選、解析，以保證試題質(zhì)量。

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　　數(shù)的整除

　　難度：★★★★

　　某些數(shù)除以 11余 1，除以 13余 3，除以 15余 13，那么這些數(shù)中最小的數(shù)是_______．

　　【答案】

　　設(shè)這個數(shù)為M,所以M=11x+1=13y+3=15z+13,其中x、y、z都是自然數(shù)；所以11x=11y+2y+2=11z+4z+11+1,即：
也就是y+1和4z+1都能夠被11整除；其中滿足條件的y最小為10
　　當(dāng)y=10時，x=12,z=8也滿足條件
　　所以滿足題意的最小的數(shù)為13×10+3=133

　　難度：★★★★★

　　在自然數(shù) 1—2011中，最多可以取出________個數(shù)，使得這些數(shù)中任意四個數(shù)的和都不能被 11整除。

　　【答案】

　　分析這任意這個數(shù)不能被11整除的情況，其中余數(shù)為1和2的肯定全部都滿足條件（因為2+2+2+2=8<11），那么2011÷11=182...9，所以得出1-2011中，余數(shù)是1和2的數(shù)有182×2+2=366個；
另外分析余數(shù)是3的情況，最多允許有2個，因為當(dāng)有3個余數(shù)為3的情況時，有3+3+3+2=1能被11整除，不滿足情況，所以余數(shù)為3的數(shù)最多只能有2個；最后考慮能夠被11整除的數(shù)，最多只能有3個，因為超過4個話就有整除的情況發(fā)生；綜上所述：最多可以取出滿足條件的數(shù)有366+3+2=371個。